[转贴]叁天两地而倚数 音律解 与起卦有关的数学实验

maximefr

关于音律，可在古书中找到非常详细深入的解释，但毕竟需要花时间整理。

昨日在它处看到此文，虽说浮于表面，但毕竟适合入门。
故转贴过来，供各位参考。

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标题：【穿凿附会】“叁天两地而倚数”音律解
作者：yyangsy
发表于 2011-12-13 01:06

声音产生于物体机械振动，人能听到20～20000赫兹频率范围内的声波，是连续变化的。

古人对声音的痴迷与崇拜绝非今人所能想象，古代中国人认为音律与天地万物之理相通，历法著作通称“历律志”，音律、天文、数理是一起讲的，不分彼此。

古人发现，由琴弦拨动的两个声音，如果琴弦长度是整数比的关系，两根琴弦发出的声音听上去就会很和谐、相似。而最简单的整数比，莫过于2:1。
今天我们知道，琴弦的长度和其振动的频率呈反比关系（泰勒有个公式），也就是说：两根琴弦的频率（长度）是2比1的关系，两音就是最和谐的。

在古人看来这简直就是洞悉了宇宙奥秘的惊天大发现。

2比1，能让我们想到什么呢？河图中数五与十，所谓的倍半关系。不要小看这个倍半关系，虽然简单至极，但很多深奥的现象中都能看到它的影子，比如黄金分割数。

当然了，凡是两个声音之间的频率关系呈整数比，听上去就会感觉和谐，2比1只是最简整数比，次之的是3比2，在下认为这就是系辞所谓“叁天两地”里的3与2。

古人在研究声音的过程中，逐步发展到驾驭声音，要创造音乐，首先就得创造音阶。

远古时期的中国人使用五声音阶，就是我们熟知的与五行相配的——宫、商、角、徵、羽。

宫、商、角、徵、羽只是五个音名，我们真正想得到的是计算出它们各自的频率。
这是由所谓“三分损益法”来完成计算的。古代没有“频率”这个词，古人用长度，乐器身管长、琴弦长这些个长度（与频率是一回事，只不过频率与长度呈反比关系）。
具体的计算方法是：以81单位长作为宫音，损三分之一，得54为徵；
54益三分之一得72为商；
72损三分之一得48为羽；
48益三分之一得64为角。

这个计算法是以81单位长度为宫、为起算点，避免了分数计算。
如果改用1单位长为宫音计算，则：
1为宫，三分损一，得2/3（三分之二）；
2/3为徵，益三分之一得8/9（九分之八）；
8/9为商，损三分之一得16/27；
16/27为羽，益三分之一得64/81为角。

整理一下：
宫，长 1，
商，长 8/9，
角，长 64/81，
徵，长 2/3，
羽，长 16/27.

以上都是按照“三分损益法”生成的五声音阶。
还可以用更具易学数理意味的方法产生同样的五声音阶。

建立一个以（3/2）为等比项的数列，（注意是3/2，叁天两地）：
1，3/2，9/4，27/8，81/16
以上5个分数其实就是宫、商、角、徵、羽五声音阶，只不过它们有些频率（身长）落在了一个八度之外，如果将它们全部折合到一个八度之内，则上述五个分数将是：
1，3/2，9/8，27/16，81/64
再按照频率从小到大排列：
1，9/8，81/64，3/2，27/16
这与前述三分损益法得到的结果一致（只不过一个是长度，一个是频率，所以呈倒数关系）。

那么我们再审视一下按照（3/2）为等比项的数列：
1，3/2，9/4，27/8，81/16
这个数列的分子按照2->4->8->6循环；
分母则按照 3->9->7->1循环。
也即是下图：





樂者，天地之和也。禮者，天地之序也。

地氣上齊，天氣下降，陰陽相摩，天地相蕩，鼓之以雷霆，奮之以風雨，動之以四時，暖之以日月，而百化興焉。如此，則樂者天地之和也。——《樂記》




说得比较简约，也不知道大家整明白没有？

“乾之策，二百一十有六；坤之策，百四十有四”， 乾坤策数比：三比二。

和谐音的频率呈整数比关系，最简比为二比一（一个八度），次之为三比二。

五声音阶可由“三分损益法”计算得到，也可由二分之三累乘得到。



无论是五度律五声、七声音阶，还是后来的十二平均律，东西方都高度一致。
音律看似人造，实乃天造。乐者，天地之和也。

maximefr

看完此帖，找了一些该作者的帖子读了一下，还有一篇帖子值得一看。

虽说实用价值不大，但毕竟点出了随机性和有序性的一些联系。

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标题：一个与起卦有关的数学实验，捎带点杂七杂八的想法
作者：yyangsy
发表于 2010-3-25 22:56

几天前，无意间浏览到一篇讲述据说是数学家们玩的一种游戏，晃了两眼，似乎还不难。
游戏是这样的：平面上有不共线三点A、B、C，和一枚六面体骰子。（图就不画了）
1）任意选定A、B、C三点中的一点作为起始点；
2）扔骰子，读取朝上那面的数，根据读到的数再选ABC三点中的一点，（规则是：1和2选A，3和4选B，5和6选C）
3）那么，我们就有了起始点和根据骰子得到的点，共计两点，接下来要做的就是在这两点连线的中点处画上一点，
并把新画的点作为起点，回到步骤2继续扔骰子。

过程不复杂，每进行2，3两个步骤一次，平面上就会多画出一点，很多很多次以后，
这些点会构成一个什么图形？这可是扔骰子啊，完全随机的，会不会是一个杂乱无章毫无意义难以理解的图案呢？做做看！

我用计算机模拟了这个过程，实验结果完全出乎意料，实验中各阶段图案如下：









最后得到的图形就是这个通常被称之为“赛宾斯基（sierpinski）三角形”的分形图，分形图案的特征就是局部与整体总相似，
是“其大无外，其小无内”的一个具体展示，关于分形图和分形几何学，请参考相关文章书籍。

赛宾斯基三角的原初构造不是扔骰子扔出来的，另有其法。但这个实验是依靠扔骰子推动进行的，整个过程都是随机、无序的，
通过实验中的方式，我们在一堆貌似杂乱无章的数字背后看到了一个有序、蕴意深刻地结构。很神奇。
关键在于这个扔骰子的过程能让我们想到什么呢？铜钱起卦！

因随机选择ABC三点只需要三个状态，所以上述实验中虽采用六面骰子，实际上只用到三个状态（1和2，3和4，5和6）。
火珠林铜钱法或是易传所载蓍草演算法则不同，得到一爻，需要有“太阴、太阳、少阴、少阳”四个状态。
于是我将ABC三点扩展为ABCD四点，分别位于正方形四个角上，重做了该实验，扔骰子5000次后：



这次真是杂乱无章了，莫非周易起卦与众不同？规律难以把握？
郁闷两天后，今天中午忽然想到ABCD可能不是位于同一个平面，而是立体空间中的四个点，
将ABCD分别放在正四面体的四个顶点上，再次重做该实验，如下图：









10万次扔骰子后，所有的点构成了这个图形，一个立体的赛宾斯基（sierpinski）块。
我们一生中要扔多少次铜钱来起卦？很多很多次，毫无疑问，它们都是随机、无序的，没人能知道自己下一次掷出的三枚铜钱将会得到什么，
但每扔一次铜钱得到的每个太阴、太阳、少阴、少阳，都被叠加在这个结构中，如此井然有序，有序和无序从来都是对立又统一的。

这个结构可以无限细分下去，局部与整体永远相似，就像阴阳太极图所表述的那样：其大无外，其小无内、、、、、、

我们的手、耳、鼻、指甲，任何一个局部都与整个身体相似，整个身体与天地相似，天地与天地之外的天地相似，永无穷尽。
反之也是一样，一粒尘埃里就有整个宇宙的缩影，有银河系，太阳系，有人类，有各种生命，尘埃里的智慧生命说不定这会儿正在星际航行，
他们与我们一样想要探索浩瀚的天际，在我们的尺度看来他们是尘埃，在他们的尺度看来这粒尘埃却是浩瀚的宇宙。
我们同样如此，对我们来说漫无边际的无限宇宙在更大尺度时空里的生命看来也只是一粒尘埃，这会儿我们的尘埃宇宙正飘在他们城市的上空、、、、、、

杨辉三角与易经的关系很早就有人研究了。我在这里想补充的是：杨辉三角其实也是赛宾斯基三角。
下图为一个比较大的杨辉三角，去掉偶数之后奇数组成的图案——赛宾斯基三角又出现了。



这一切，大自然其实早就知道、、、



换个角度再看赛宾斯基三角，10万个点组成的点云，每个点都是抛三枚铜钱决定的，有序又无序，真是奇妙~



网上的图片



杨辉三角与易经六十四卦之间的关系，很早就有人投入研究了，有趣结论不少。
赛宾斯基三角其实就是杨辉三角，杨辉三角或许更深刻。
火珠林铜钱摇卦，易传蓍草算卦竟然能决定一个赛宾斯基结构。起卦过程虽在表面上看起来是无序、随机的，背后却有着一个有序的结构，有序与无序统一了，这就是混沌。

这个实验还告诉我们一条事实：
在相对低维时空里看起来是无序、随机的事件，在高维时空里去看可能就是有序的。

拿这个实验来说，ABC三点如果在同一条直线（共线）上，仅在直线1维空间范围内观察就会得出所有点都是无序的结论，
但从平面2维空间去观察就会发现所有点其实是有序结构。
同样，如果ABCD四点共面，仅在平面2维空间内观察也会得出无序的结论，须从3维空间里才能看到有序结构。
如此可推广到更高维的时空里去。

这可以解释某些事情。
比如股票价格的涨跌线，人生发展的轨迹线，我们之所以觉得它们是无序的、难以琢磨，就是因为我们是从低维时空里去观察的缘故。
股价是多少维度的？我也不知道~

是啊，谁会想到我们无数次抛掷铜钱，全扔进这个塔里去了，
这或许就是我们之所以能察往知来的原因吧、、、

maximefr

为什么说实用价值不大呢？

易，在于变，不会变，还是不会用。
其变化过程不会推导，此类文章只能让人仅仅感叹罢了。


关于音律，皇极认为1不是数，所以在音律计算中，自第3位寅起1数，不计，从卯起算。

在天左旋、地右旋中，天自乾起，乾记1数（实从大过起，乾为3数），天之元，第1变用10，然后用9，迭次而进。所谓天运。地自小畜起，12数，不迭次，数几用几。

此处不通，如何知道隔4位的妙处？

林莽中（益东门人）

       这个帖子也值得研究和参考。