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行星轨道闭合的奥秘

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发表于 2019-1-8 07:13:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖系轉帖,原帖作者:今日头条
众所周知,根据牛顿引力定律,行星的运动轨道是个闭合的椭圆。但你可曾想过,行星轨道究竟为什么是闭合的?

行星轨道闭合的奥秘-1.jpg

撰文 徐一鸿(A. Zee)

翻译 高苹(哈佛大学物理学系)

编辑 韩琨 丁家琦

牛顿力学中的惊喜

物理系的大学本科生都会修一门牛顿力学的课,课上会学习行星是如何围绕太阳运动的(为明确起见,我们在这里以水星为例,虽然我们这儿的讨论可以应用到其他所有的行星)。由于太阳的质量比行星巨大很多,不妨可以视它在空间上为固定不动的。另外,我们也可以忽略其他行星(例如火星和木星)和各种卫星对水星运动的影响,而仍然得出不错的近似结果。这样,我们就只需要处理一个基本的两体问题,两体即太阳和水星,皆被视为点,并以正比于1/r2(r为水星和太阳的距离)的牛顿引力相互吸引。这就是著名的平方反比律(inverse square law),表示引力随着水星和太阳的距离的平方衰减。

然后,本科生们就可以开心地将这个公式代入到牛顿运动定律中,去求解水星围绕太阳的轨道。众所周知,这个轨道是一个(近乎圆形的)椭圆。

这个结论中蕴含着一个巨大的惊喜,但这个惊喜却几乎从未在任何一门本科生的课程里强调过[1]。这个惊喜就是:轨道是闭合的——也就是说,它是个完整的椭圆,转一圈以后还会回到原来的位置。

初学者往往视其为理所当然[2],而并没有意识到闭合的轨道简直是一个奇迹般的现象,需要解释清楚为何如此。

我们不妨这样思考:为了计算出水星的运行轨道,学生需要从牛顿定律中提取出关于r和θ(θ表示水星围绕太阳转动的角度,见图1)随时间而变化的两个方程式。在一个周期里,r从最小值(此时水星离太阳最近,我们称这个点为近日点,the perihelion of the orbit)到最大值,再返回到最小值(即水星再次回到近日点),与此同时,θ亦随着时间而改变。让我们设定水星在近日点时θ=0,然后,随着水星环绕太阳运动,θ稳定增加,最后到达 2π(2π是角度的弧度制表述,即360°),整个过程周而复始。

行星轨道闭合的奥秘-2.jpg

图1. r代表水星到太阳的距离,θ代表水星围绕太阳转动的角度。
但是为什么当r回到最小值的时候,θ恰好到达360°?这多么令人惊奇啊!

如果θ在r回到最小值之前或之后到达360°,轨道就不会闭合,这种运动即被称为进动(precession,见图2)。想象有两匹马同时出发,沿着一个椭圆轨道奔跑,在跑完一圈之后,它们一定有快有慢,是没有任何理由会在同一时刻回到起点的[3]

行星轨道闭合的奥秘-3.jpg

图2. 水星进动示意图
值得注意的是[4],只有相互作用力是平方反比的时候,轨道才是闭合的。(事实上,水星与太阳之间的实际相互作用力就不是平方反比:在爱因斯坦引力理论中,相互作用力正是牛顿引力加上一个小修正;而实际的行星轨道也并不闭合:水星近日点的进动恰好成为了爱因斯坦理论的三大证据之一[5]。我们稍后还会再回到这一点。)

现在,让我们先神游一下,回到理论物理界早期英雄辈出的年代。在我的领域中,那些绝顶聪明的开创者先辈们,的确也曾对“行星轨道为什么是闭合的”这个明显的奇迹感到疑惑。

让我们一起回想在物理中的很多守恒量——即不随着时间而改变的量,比如说总能量和角动量(angular momentum)。水星围绕太阳运动的角动量
行星轨道闭合的奥秘-4.jpg

这里的r(上标箭头)代表从太阳指向水星的位置矢量,p(上标箭头)代表水星的动量矢量。(如果你不知道这个角动量的表达式,也没关系。简言之,它只是表明角动量L(上标箭头)同时垂直于r(上标箭头)和p(上标箭头))在我们的例子里,当水星沿着轨道运动时,它的位置r(上标箭头)显然是随之改变的,而它的动量p(上标箭头)也会随着速度升降而变化,但角动量守恒表明,由r(上标箭头)和p(上标箭头)所组成的这个整体数学构造(mathematical construct[6]L(上标箭头)的量是不会改变的。

一个重要的结论是:由于r(上标箭头)和p(上标箭头)皆垂直于L(上标箭头),L(上标箭头)又为固定的守恒量,则该行星运动须完全处在一个垂直于这个守恒矢量的平面上。(在图1中,L(上标箭头)垂直于屏幕所在的平面,而轨道就保持在这个平面中。)

另一个出乎物理学家意料的守恒矢量

如果力是球状对称的,也就是说,如果作用于水星的引力都是指向太阳的,那么角动量守恒就总成立。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵(Pierre-Simon, marquis de Laplace,1749-1827)意识到,如果力正如牛顿(Newton,1642-1726/27)所言满足平方反比律,那么就存在另一个守恒的矢量——这个矢量现今即称为拉普拉斯-龙格-楞次(Laplace-Runge-Lenz)矢量。[7]

重点是:这个守恒(且因而是固定的)拉普拉斯-龙格-楞次矢量L(花体L,上标箭头)指向[8]近日点,因此近日点的位置如同板上钉钉一般,是不会改变的。因此L(花体L,上标箭头)守恒就意味着轨道闭合。让我再次强调,L(花体L,上标箭头)矢量只有在平方反比律时才是守恒的[9],而角动量L(上标箭头)只要是作用力球对称的情况下便总是守恒的。

史海拾遗

物理学的历史,往往比科普书和教科书中所描绘的要曲折得多。尽管拉普拉斯-龙格-楞次矢量L(花体L,上标箭头)的发现通常归功于拉普拉斯,但这段发现史尤其复杂。雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654/55-1705)的学生,雅各布·赫尔曼(Jakob Hermann,1678-1733),现今被认为是第一个率先证明L(花体L,上标箭头)矢量守恒的人。1710年,雅各布的弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)把赫尔曼的工作成果写成了一个更现代的形式。之后,拉普拉斯又独立发现了L(花体L,上标箭头)。约西亚·威拉德·吉布斯(Josiah Willard Gibbs,1839-1903)利用矢量分析,将它表达为一个矢量。卡尔·龙格(Carl Runge,1856-1927)再将吉布斯的工作作为一个案例写在了他关于矢量的教科书中;这随即又被威廉·楞次(Wilhelm Lenz,1888-1957)引用在一篇他早期有关氢原子的论文中。物理量被命名的过程,有时是相当奇特的。

顺带一提,赫尔曼是世上最伟大之一的数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)的母亲的堂/表兄弟。基因确实扮演了一个重要角色,这正和某些美国极左自由派所声称的正好相反。

行星轨道闭合的奥秘-5.jpg

图3. 雅各布·赫尔曼(左图);皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵(右图)
爱因斯坦的心悸



想象一下我看到这一结果时有多么喜悦……方程式正确地给出了水星近日点的进动。我接连好几天都欣喜若狂。

——爱因斯坦写给保罗·埃伦费斯特(Paul Ehrenfest,1880-1933)的信,1916年1月17日

在我们回到爱因斯坦(Einstein,1879-1955)之前,先做个小结。如果水星和太阳之间的力是球对称的,则角动量L(上标箭头)矢量守恒;但如果这个力同时也满足平方反比律,则拉普拉斯-龙格-楞次矢量L(花体L,上标箭头)亦守恒。在我们的例子里,角动量L(上标箭头)守恒意味着水星轨道总存在于一个平面上,拉普拉斯-龙格-楞次矢量L(花体L,上标箭头)守恒则进一步说明了轨道是闭合的。

牛顿之后的两个世纪里,由于如拉格朗日、拉普拉斯、贝塞尔(Bessel)和勒维耶(Le Verrier,1811-1877)这些伟人的努力,行星轨道被计算到令人惊叹的精度。根据当时天文学家的观测,水星近日点[10]每世纪都提前了(大致如图2)大约5600’’(角秒,seconds of arc [11])。在所有已知的效应(比如木星的牵引作用贡献了153’’)皆被扣除后,仍有一个恼人的每世纪43’’的误差。此前,天王星也出现过相似的误差,勒维耶在此基础上成功地预言了之前未知的海王星的存在。鉴于水星的轨道偏差,天文学家预言有另一颗叫做祝融星(Vulcan)的行星存在于太阳和水星的轨道之间,但它并未被发现。

接着,爱因斯坦就提出了他的弯曲时空理论(curved spacetime),而且算出了每世纪43’’的误差。太神奇了!这依然令我难以置信:这块笨重的大岩石自己居然会知道,每次当它围绕太阳旋转完一圈后,都要再往前精确地挪移,补全由时空曲率决定的毫厘之差。

我想请你暂停思绪,并在脑海中描绘一下爱因斯坦预言的近日点的提前量(perihelion advance)有多么地小。读者想必都知道,两条线相互垂直时会形成90度的直角,把这个角度在你脑中分成90份,便可想象1度有多小。请把这个角分成60份,即可得到一角分(one minute of arc)。而在一百年内,近日点只提前了43/60角分,也就是大约2/3角分。请想象一下这是多么微小的效应!

随后,爱因斯坦告诉他的朋友阿德里安·福克(Adriaan Fokker,1887-1972),当时他算出每世纪43’’误差时,感到一阵兴奋的心悸。他也给他的朋友阿诺德·索末菲(Arnold Sommerfeld,1868-1951)写信说道:“天文学家们吹毛求疵的精确度竟对我们有这么大的帮助,而我却常常私下嘲笑他们。”

我们不仅应当对爱因斯坦致敬,也该对始于第谷·布拉赫(Tycho Brahe,1546-1601)的所有天体力学家们,以及各个古代文明的所有天文学家们致敬。因他们异常耐心的努力,使得我们这些在太阳系第三颗行星上的栖居者,能够以此毫厘之微洞悉天体的运动。

最近,我的一个朋友在晚餐中和我谈到:任何一个读过关于爱因斯坦的书的人都知道如何计算每世纪43’’的相对论效应,但是有多少物理学家能够计算每世纪5600’’的总体误差?哎哟,说得好!这个观点真是犀利!时至今日,在计算行星的静止近日点时,除了专于天体力学的物理学家,几乎没人能够计算大的牛顿力学修正(the large Newtonian correction),而许多优秀的本科生却能计算出微小的爱因斯坦修正(the tiny Einsteinian correction)。

注释

[1] 可以肯定的是,教科书和我的教授都没有向我提及这一点。

[2] 部分原因是,早在上大学本科课程之前,在更基础的课程里,学生们都已经被告知轨道是一个圆了。在这种情况下,轨道是否闭合根本就不是一个可以成立的议题。

[3] 对于那些知道一点儿微积分的读者,另一个同等的思考角度是:当r改变时,θ如何改变,即找到导数dθ/dr。把它从的最小值积分到最大值然后又回到最小值,我们就得到总的变化。轨道闭合当且仅当这个变化等于2π(也就是360°)。

[4] 参看A. Zee,Einstein Gravity in a Nutshell,Chapter I.1。我之后都简称这本书为GNut。

[5] 如今,计算水星近日点的进动不再是件难事。例如参看A. Zee,GNut,371页。

[6] 一些读者可能知道这是两个矢量的叉积。

[7] 这里我们并不关心其具体的形式。如果读者好奇,拉普拉斯-龙格-楞次矢量L(花体L,上标箭头)的表达式为:

行星轨道闭合的奥秘-6.jpg

这里m代表行星质量,κ代表牛顿引力常数G乘以太阳质量再乘以m。

[8] 熟悉矢量的读者,根据上一条尾注可以容易地看出这一点:在近日点处,p(上标箭头)垂直于r(上标箭头),因而拉普拉斯-龙格-楞次矢量L(花体L,上标箭头)指向r(上标箭头)的方向。

[9] 计算拉普拉斯-龙格-楞次矢量的时间导数,你可以很容易地验证这一点。例如参见GNut,794页。

[10] 有些读者可能会好奇,为什么在所有行星中,水星在物理学上扮演了如此重要的角色。原因是:水星作为最内层的行星,运动速度最快,在88个地球日以内就能完成一个轨道周期。这颗行星以希腊罗马神中被尊崇为信使、旅行者以及商人的保护神墨丘利(Mercury)命名,因此速度的概念也与它相关。关于这一点,我不得不谈及各种符号之间的文化关联。当今大部分美国人都知道墨丘利是鲜花快递服务领军公司FTD(Florists’ Transworld Delivery)的标志;液态元素汞(即中文的水银)也被命名为Mercury,因为当它被倒出来时,汞液滴会滚到各个角落;最后,注意到英文字的merchant(商人)和commerce(商业)也可能和Mercury相关。

[11] 你是否曾经好奇过用于测量角度和时间的术语英文second(秒)和2nd(第二,意味着1st第一之后的东西)的英文记号有什么关系?事实上,前者是对包含后者的一个词组的滥用。托勒密(Ptolemy)在绘制天图和地图时提出角度的细分,他的细分法在拉丁语中被分称为“第一细分”(partes minutae primae)和“第二细分”(partes minutae secundae)。“第二细分”中的secondae衍生成了“秒”(second)。

[12] 这个巴比伦系统(Babylonian system)是以60为基础来计算时间和角度的巴比伦系统,也被其它古代文明所使用。例如,中国计算人的寿命就以60年为一个周期(=5×12年)。

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投稿、授权等请联系:saixiansheng@zhishifenzi.com

赛先生系今日头条签约作者

本文为头条号作者原创。

未经授权,不得转载。

【版權聲明】本文轉自《今日頭條》原文鏈結地址:https://www.toutiao.com/a6409801507633365505/
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