本帖系轉帖，原帖作者：今日头条

古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。 ——《周易·系辞下》

天地万物生生不息，有太多的事物、现象超出我们五官所及。因为无法达到，反而使得洞悉宇宙的奥秘成为人们生活的一部分。



月球、太阳是人们最早能观察到、也是最先激发人们好奇心的天体。两者与地球的运动，导致了地球上的四季更迭,冷暖交替。不但如此，人们还发现，如果希望来年有一个好的收成，必须对它们有更多的了解。研究星空的天文学家为此而生，他们除了业余爱好——观察星空位置、大小并记录外，有时也一不小心就得到了一些“意外发现”，不管有心还是无意，这样的发现对指导农业生产还很有用。



我们现在常用到的时间节点（如，年、月、日等），以及历法，都是古人（天文学家）长期观察和实践的结果。他们不但洞悉了四季变化及天体（如太阳、月球）周期运动的规律，还设计了许多了仪器来确定历法可靠性、及矫正观察的误差，在这些仪器中，“日晷”绝对是原理最简单、又最实用中的一个。



日晷起源于何时何处已不可考，但从目前发掘的文物来看，公元前1500年左右出现的古埃及“影子钟”便已具有了日晷的雏形。2013年，巴塞尔大学在埃及帝王谷的工人棚内发现了“影子钟”，该钟由石灰石制成，分十二份，在圆孔处装有指针。指针是“影子钟”的核心部分，古埃及人依据指针的影长变化来计时。



和许多发现一样，古时候的几个主要文明都不约而同的使用了日晷来计时。而在我国，日晷更是被用到了极点。

“以土圭之法测土深，正日景（影），以求地中。”,又“日至之景，尺有五寸，谓之地中，天地之所合也”。

据说，周公团队经过周密的测定，得到当时的阳城（今河南省登封市）为“天下之中”。既然阳城是中心，周公决定在此立圭表以测日影。

关于周公，估计大家更熟悉的是“周公解梦”，没错，相传他的确是卜卦能手。但是在历史上周公却有着无法超越的功绩，借用《尚书》来说：他“一年救乱，二年克殷，三年践奄，四年建侯卫，五年营成周，六年制礼乐，七年致政成王。”。不仅在政务上功勋卓越、卜卦上出神入化，周公对科学的贡献也是一流的。



陕西周公庙壁画

回过头来看周公立的“圭表”。尽管早在公元前20世纪，陶寺遗址时期，中国就开始使用“圭表”了，但从未有过像周公一样深刻的革新。“圭表”的构造很简单，主要包含了“表”和“圭”两部分。周公所立的圭表，表高八尺（185cm），在太阳光照射下，表的影子会落在圭上，而且不同的时间点，影子的长度也会不同。具体来说，周公经过观察后发现，表的“影子”最短为一尺五寸（35cm）,这一天被命名为“夏至”，而日影最长（一丈三尺五寸）的一天定为“冬至”。也就是《恪遵宪度抄本》中所记：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至。至者，极也。”（注：周朝一尺约为23.1cm）



夏至、冬至，再结合昼夜时长相同的“春分”“秋分”。我国“二十四节气”中的最早四个节气就这样形成了。“二十四节气”对于指导农作起了指导性作用，而在汉武帝太初元年（公元前104年）更是被吸收入《太初历》作为指导农事的历法补充。在传承发展中，二十四气被列入农历中，成为农历一个重要部分形成阴阳合历，至今仍在使用。



最初的“四个节气”发展为“二十四节气”，测日影的天文仪器也从“圭表”逐步发展为"日晷"。仪器和历法在革新，但规律却亘古不变。每一年的夏至日和冬至日这天，日晷上“表”的影长在每个地区都是一年中最长（和最短）的，但是不同的地区对应的影长却千差万别。中央又只有一个“历表”，那地方该如何运用该历表计算时间呢？



这个问题困扰了人们很久，到了唐朝时期，僧人一行巧妙解决了这一问题。他做了两件事：一、要求地方官员测量当地夏至日影长。二、制表、给出公式，然后当地官员通过查表并计算得到其他节气所对应的“影长”。



僧一行
关于制表及公式，对天文学感兴趣的朋友可以阅读文献[1]，有详细介绍。这里主要谈及这些发现中与数学最贴近的一个。
僧一行通过大量的数据测量、运算发现，在同一时间、同一地点，杆的影子会随着杆长的变化而变化，但是它们的比值是保持不变的。虽然僧一行所在时代还没有“正切、余切”这一数学概念，但是他却先见性的用“影长与杆长的比值”建立了世界上最早的“正切函数表”.



一行的“正切函数表”

需要注意的问题是，制定正切表与正切的发现是两码事，最先使用类似于“正切、余切”这一概念的是古埃及人，它被记录在成书于约公元前17世纪的《莱恩德纸草书》中：

一个金字塔形（正四棱锥）高是250腕尺（cubit），底面边长是360腕尺，求seked值.（《莱恩德纸草书》第56题）

什么是“seked”呢？古埃及人将一倾斜直线每垂直升高一个单位时，相对于垂线的水平偏离称之为“seked”，即底边与高之比，相当与直角三角形中底角的余切值。



泰勒斯

由此可以将古埃及的“seked”看成“正切函数”的雏形。随后，古巴比伦人和古希腊人也对“正切”有一定研究。在西方，据说古希腊数学家泰勒斯更是通过正切的性质，计算出了“金字塔的高度”。这点其实是值得商榷的，因为泰勒斯很有可能是依据相似三角形原理，解出了金字塔的高度，而并不应一定知晓“正切”概念。要知道，欧几里得之前的古希腊数学家热衷于几何，而（以正弦函数为代表的）三角函数从喜帕恰斯开始才作为天文学的产物正式出现在历史舞台。



随后的发展中，阿拉伯数学的贡献也值得一提，而且现代意义上的“正切、余切”概念，一定程度上便来自于古阿拉伯数学家巴塔泥的贡献。巴塔泥生活在9世纪，为了研究“日晷”，他引入了“直阴影”和“反阴影”的概念。如图，“直阴影”即“余切”，而“反阴影”即“正切”。[2]



“反阴影”是太阳仰角α的正切值

到此，天文学中有了明确的正、余切概念，但要直到1583年，才由丹麦数学家芬克（FINKE）第一次使用符号tangent来表示正切，高中教材中”tan”便是“tangent”一词的简写。随着三角学脱离天文学而成为数学的一部分，正切函数在数学中也拥有了一席之地。


总之，日晷、二十四节气、正切函数都因“测影”问题产生，并密不可分，它们为指导古代农业、科技的发展贡献了巨大力量。但时代在进步，随着沙漏、摆钟、计算机等更先进的计时工具的发明，人们有了更精确的计时工具，日晷这样的计时仪器也慢慢从实用工具变成了历史发明，同时，先进的仪器也让人们对日影的依赖近乎消失。



原来的密不可分，变成了现在的分道扬镳，日晷进入了历史博物馆、二十四节气继续隶属天文学、正切函数则更多的在数学上发光发热。它们又都重新在不同的轨迹上发生作用。

参考文献：

【1】.刘金沂等.唐代一行编成世界上最早的正切函数表.自然科学史研究.1986.298-309

【2】.梁宗巨.世界数学通史（上）[M].辽宁教育出版社.2005

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中国的先贤确是无比的伟大，我们应该继承学习好！

伟大的发现。。。。。。。。古人大智慧

用“影长与杆长的比值”建立了世界上最早的“正切函数表”.

令人敬佩